数学归纳法

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，常用于证明自然数上的命题。它的基本思想是通过两个步骤来完成证明：

下面以一个简单的例子来说明数学归纳法的应用：

例题：证明对于任意正整数n，1 2 3 ... n = n(n 1)/2。

解答：

基础步骤：当n=1时，左边为1，右边为1*(1 1)/2=1，两边相等，命题成立。

归纳步骤：假设当n=k时命题成立，即1 2 3 ... k = k(k 1)/2。我们需要证明当n=k 1时命题也成立。

考虑左边的和：1 2 3 ... k (k 1) = k(k 1)/2 (k 1) = (k 1)(k/2 1) = (k 1)(k 2)/2。

考虑右边的式子：(k 1)((k 1) 1)/2 = (k 1)(k 2)/2。

由归纳假设可知，当n=k 1时命题也成立。

因此，根据数学归纳法，对于任意正整数n，1 2 3 ... n = n(n 1)/2 成立。

在考研数学中，数学归纳法常常用于证明数列、集合、命题等相关的问题。掌握数学归纳法的原理和方法，对于解决一些复杂的数学问题具有重要意义。